Riyaziyyatın bir çox sahələrində tez-tez qarşılaşılan, həm nəzəri, həm də tətbiqi baxımdan böyük əhəmiyyət daşıyan anlayışlardan biri çoxhədlilərdir. Məktəb riyaziyyatından başlayaraq ali riyaziyyat və tətbiqi elmlərdə, iqtisadi modelləşdirmədə, texniki elmlərdə, hətta kriptoqrafiya və proqramlaşdırmada çoxhədlilər əsas riyazi alət rolunu oynayır. Çoxhədlinin mahiyyəti, quruluşu, xüsusiyyətləri və praktiki əhəmiyyəti ilə bağlı elmi biliklər, onun riyazi dil və simvollarda necə ifadə olunması, tarixi inkişafı və müasir riyaziyyatdakı tətbiq imkanları hər kəs üçün maraqlı və öyrədici mövzudur. Çoxhədlilərin əsas anlayış və terminləri, klassifikasiyası, əməliyyatları, nəzəri və praktik istifadəsi riyaziyyatın canlı və dinamik hissəsini təşkil edir. Bu səbəbdən çoxhədlilər mövzusu yalnız akademik sferada deyil, gündəlik həyatda da müxtəlif problemlərin riyazi modelləşdirilməsində böyük rol oynayır.
Çoxhədli anlayışının əsasları
Çoxhədli – bir və ya bir neçə dəyişən üzərində qurulmuş, bir neçə monomun (hədin) cəmi şəklində ifadə olunan riyazi ifadədir. Başqa sözlə, çoxhədli bir və ya bir neçə dəyişən və onların tam natural qüvvətləri əsasında qurulan cəmlərin adıdır. Hər bir çoxhədli aşağıdakı formada yazılır:
P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀
Burada aₙ, aₙ₋₁, …, a₀ – istənilən ədədlər (koeffisiyentlər), x – dəyişən, n – çoxhədlinin dərəcəsi (ən böyük qüvvət), aₙ isə baş əmsaldır.
Çoxhədlilərin əsas tərkib hissəsi “həd” adlanır. Hər həd bir əmsal və dəyişənin müəyyən qüvvətinin hasilindən ibarətdir. Məsələn, 5x² bir həd, burada 5 əmsal, x dəyişən, 2 isə qüvvətdir.
Çoxhədlilərin tarixi və inkişafı
Çoxhədlilərin riyaziyyatda ilk nümunələri qədim Misir və Babil riyaziyyatında, sonralar isə Hindistan və qədim Yunan riyaziyyatında rast gəlinir. Lakin çoxhədlilər və onların köklərinin həlli barədə müasir riyazi yanaşmalar əsasən Orta əsr Şərq alimləri (Xarəzmi, Ömər Xəyyam, Nəsirəddin Tusi və s.) və sonradan Avropa riyaziyyatçıları (René Descartes, Isaac Newton) tərəfindən inkişaf etdirilib. Klassik dövrlərdə çoxhədlilər yalnız ədədi tənliklərdə deyil, həm də sahənin, həcm və digər ölçülərin hesablanmasında tətbiq olunub.
Alqoritmlərin və kompüter texnologiyasının inkişafı ilə çoxhədlilərin işlənməsi və tətbiqi yeni mərhələyə keçib. Bu gün çoxhədlilər cəbr, analiz, həndəsə, fizika, iqtisadiyyat, mühəndislik və informasiya texnologiyalarında geniş istifadə olunur.
Çoxhədlilərin quruluşu və əsas terminlər
Çoxhədlilərin riyazi quruluşunu və əsas terminlərini başa düşmək üçün aşağıdakı elementlərə diqqət yetirmək lazımdır:
- Dərəcə: Çoxhədlidə dəyişənin ən böyük qüvvətinə deyilir. Məsələn, P(x) = 4x³ – 2x² + 7, burada çoxhədlinin dərəcəsi 3-dür.
- Baş həd: Dərəcəsi ən böyük olan həddir. Yuxarıdakı misalda 4x³.
- Baş əmsal: Baş həddin əmsalı, yəni 4.
- Sabit həd: Dəyişən olmayan hədd. Misalda 7.
- Koeffisiyent: Hər həddə dəyişəndən əvvəl gələn ədəddir.
- Monom: Yalnız bir həddən ibarət ifadə. Məsələn, 2x².
- Binom: İki həddən ibarət çoxhədli, məsələn, x + 5.
- Trinom: Üç həddən ibarət çoxhədli, məsələn, x² – x + 1.
Çoxhədlilərin növləri və təsnifatı
Çoxhədlilər bir neçə meyar üzrə təsnif edilir:
- Dərəcəsinə görə:
- Birinci dərəcəli (x) – xətti çoxhədli
- İkinci dərəcəli (x²) – kvadrat çoxhədli
- Üçüncü dərəcəli (x³) – kub çoxhədli
- n-ci dərəcəli çoxhədli
- Hədlərinin sayına görə:
- Monom (1 həd)
- Binom (2 həd)
- Trinom (3 həd)
- Ümumi çoxhədli (daha çox həd)
- Dəyişənlərin sayına görə:
- Bir dəyişənli çoxhədli: P(x) = 2x² + 3x + 5
- İki və daha çox dəyişənli: Q(x, y) = x² + xy + y²
- Əmsal və dəyişənlərin növünə görə:
- Tam əmsallı çoxhədli (yalnız tam ədədlər)
- Qeyri-tam əmsallı (kəsr, irrasional, kompleks və s.)
Çoxhədlilərlə aparılan əsas əməliyyatlar
Çoxhədlilər üzərində müxtəlif riyazi əməliyyatlar aparmaq mümkündür. Ən əsasları bunlardır:
- Toplama və çıxma: Əmsalları eyni olan hədlər toplanır və ya çıxılır.
- Vurma: Çoxhədlilər arasında distributiv qanuna əsasən vurma aparılır, nəticədə yeni çoxhədli yaranır.
- Bölmə: Çoxhədlilərin bölməsi uzun bölmə və sintetik bölmə üsulu ilə həyata keçirilir.
- Çoxhədlilərin sadələşdirilməsi: Bənzər hədlər birləşdirilir və çoxhədli ən sadə formada yazılır.
- Çoxhədlinin qiymətinin tapılması: Dəyişənə konkret ədəd qoymaqla çoxhədlinin qiymətini hesablamaq olur.
- Çoxhədlilərin sıralanması: Hədlər dərəcələrə və əmsallara görə düzülür.
Çoxhədlilər üzərində əməliyyatların düzgün aparılması alqoritmik və sistemli düşüncə tərzinin formalaşmasına kömək edir.
Çoxhədlilərin kökləri və sıfırları
Çoxhədlinin kökü və ya sıfırı dedikdə, çoxhədlinin qiymətinin sıfıra bərabər olduğu dəyişənlərin qiymətləri nəzərdə tutulur. Yəni, P(a) = 0 şərtini ödəyən “a” ədədi çoxhədlinin kökü adlanır. Çoxhədlinin köklərinin tapılması tənliklərin həllində, funksiyaların araşdırılmasında və alqoritmlərin qurulmasında mühüm rol oynayır.
Kvadrat çoxhədlilər üçün köklər aşağıdakı formul ilə tapılır:
ax² + bx + c = 0 üçün:
x₁,₂ = [–b ± √(b²–4ac)] / 2a
Dərəcəsi üç və ya daha artıq olan çoxhədlilər üçün isə müxtəlif riyazi metodlar və alqoritmlər tətbiq olunur.
Çoxhədlilərin tətbiq sahələri
Çoxhədlilər riyaziyyatda, fizika və kimyada, kompüter elmlərində, maliyyə və iqtisadi modelləşdirmədə geniş tətbiq olunur. Onların əsas tətbiq sahələrindən bəziləri:
- Funksiyaların modelləşdirilməsi: Hər bir çoxhədli bir funksiya kimi istifadə olunur və qrafiklər vasitəsilə vizuallaşdırılır.
- Tənliklərin həlli: Fizika və mühəndislik məsələlərində dəyişənlər arasındakı münasibətlər çoxhədlilərlə ifadə edilir.
- Kompüter elmləri və alqoritmlər: Şifrələmə, kodlaşdırma, məlumatın sıxılması və optimallaşdırma problemlərində.
- İqtisadi modellər: İqtisadiyyatda böyümə, investisiya, gəlir və xərc funksiyaları çoxhədlilər vasitəsilə təsvir edilir.
Aşağıdakı cədvəldə çoxhədlilərin tətbiq sahələrinin əsas nümunələri göstərilib:
| Tətbiq sahəsi | Nümunə |
|---|---|
| Riyaziyyat | Funksiya analizi, tənliklərin həlli |
| Fizika | Hərəkət, sürət, enerji dəyişməsi modelləri |
| Kimya | Reaksiya kinetikası, konsentrasiya hesabı |
| Kompüter elmləri | Kriptoqrafiya, şifrləmə, kodlaşdırma |
| İqtisadiyyat | Gəlir və xərc modelləri, investisiya planı |
| Statistika | Regressiya və məlumat analizi |
Çoxhədlilərin əsas xüsusiyyətləri
1. Dərəcə:
Çoxhədlinin ən böyük qüvvətinə dərəcə deyilir və bu, funksiyanın qrafikinin davranışını müəyyən edir. Məsələn, kvadrat çoxhədlilər parabola verir, kub çoxhədlilər isə dalğalı qrafik yaradır.
2. Əmsallar:
Çoxhədlidə hər həddin qarşısındakı ədədə əmsal deyilir. Əmsalların dəyişməsi çoxhədlinin qrafikinin formasına, kəsilmə nöqtələrinə və simmetriyasına təsir edir.
3. Sabit həd:
Sabit həd dəyişən olmadan olan ədəddir və qrafikdə y-oxunu kəsdiyi nöqtəyə bərabərdir.
4. Simmetriya və qrafik xüsusiyyətləri:
Bir çox çoxhədlidə qrafikin simmetriyası və ekstremal nöqtələri xüsusi əhəmiyyət daşıyır.
5. Vurma və bölünmə:
Çoxhədlilərin hasilə və qismətə bölünməsi digər riyazi obyektlərin yaranmasına səbəb ola bilər.
Çoxhədlilərin qrafik təsviri və analiz metodları
Çoxhədlilərin qrafiki onların əsas davranışını və həllərini vizual şəkildə əks etdirir. Birinci dərəcəli çoxhədlilər düz xətt, ikinci dərəcəli çoxhədlilər parabola, üçüncü dərəcəli və daha yüksək çoxhədlilər isə müxtəlif formalı dalğalar verir. Qrafiklər vasitəsilə köklər, maksimum və minimum nöqtələr, böyümə və azalma intervalları, asimptotlar və s. öyrənilir. Müasir texnologiyalar və riyazi proqramlar (GeoGebra, Desmos və s.) vasitəsilə çoxhədlilərin qrafikləri daha dəqiq qurulur və analiz olunur.
Çoxhədlilər riyaziyyatın və tətbiqi elmlərin mühüm anlayışlarından biridir. Onların əsas xüsusiyyətlərini, tətbiq sahələrini və riyazi əməliyyatlarını başa düşmək təkcə riyazi bilik səviyyəsinin yüksəldilməsinə yox, həm də gündəlik həyatda və müxtəlif elmi problemlərin həllində uğur qazanmağa imkan verir. Çoxhədlilərin düzgün öyrənilməsi, onların qrafik təhlili və praktik modellərdə tətbiqi hər bir insan üçün əhəmiyyətli riyazi bacarıqlardan biridir.
Ən Çox Verilən Suallar
Çoxhədli bir və ya bir neçə dəyişən və onların tam natural qüvvətləri əsasında qurulan, bir neçə həddin (monomun) cəmi kimi ifadə olunan riyazi ifadədir. Misal: 3x²+2x+1.
Monom bir həddən, binom iki, trinom üç həddən ibarət çoxhədli növüdür. Ümumi çoxhədli isə istənilən sayda həddin cəmini ifadə edir.
Çoxhədlidə dəyişənin ən böyük qüvvətinə həmin çoxhədlinin dərəcəsi deyilir. Məsələn, 2x³+5x²+1 çoxhədlisinin dərəcəsi 3-dür.
Çoxhədlilərdə baş həd, baş əmsal, sabit həd və dəyişən anlayışları əsas tərkib hissələrdir. Hər həddin qarşısındakı ədədə əmsal deyilir.
Çoxhədlilər üzərində toplama, çıxma, vurma, bölmə, sadələşdirmə və qiymətin tapılması kimi əsas əməliyyatlar aparılır.
Çoxhədlinin kökü – həmin çoxhədli üçün P(a)=0 bərabərliyini ödəyən ‘a’ qiymətidir. Köklərin tapılması tənliklərin həllində vacib rol oynayır.
Çoxhədlilər riyaziyyat, fizika, iqtisadiyyat, mühəndislik, kompüter elmləri, statistik modelləşdirmə və şifrləmə sistemlərində istifadə olunur.
Bir dəyişənli çoxhədlidə yalnız bir dəyişən olur (məsələn, x), çox dəyişənlidə isə birdən çox dəyişən (məsələn, x və y) iştirak edir.
Birinci dərəcəli çoxhədlilər düz xətt, ikinci dərəcəli parabola, üçüncü və daha yüksək dərəcəli çoxhədlilər isə dalğalı və müxtəlif formalı qrafik verir.
Çoxhədlilər qədim dövrlərdən riyazi tənliklərin həllində, ölçmə və hesablamalarda, bu gün isə alqoritmlər, modelləşdirmə və elmi-tətbiqi sahələrdə vacib riyazi alət kimi çıxış edir.
