Kəsr riyaziyyatın ən fundamental anlayışlarından biri olmaqla yanaşı, gündəlik həyatımızda tez-tez rast gəldiyimiz, bəzən isə çoxunun çətin anladığı bir mövzudur. Hər kəsin məktəb illərindən yadında qalan, bölünmüş tortdan tutmuş, alış-verişdə ödənişin hissələrə bölünməsinə qədər hər sahədə istifadə olunan kəsrlər həm riyazi, həm də praktik baxımdan əhəmiyyətlidir. Kəsr anlayışının tarixi qədim sivilizasiyalardan başlayır və inkişaf etmiş müasir elmi düşüncəyə qədər uzanır. Onun doğru anlaşılması təkcə riyaziyyat dərslərində deyil, gündəlik qərarların verilməsində, maliyyə hesablamalarında, texniki və sosial sahələrdə də vacibdir.
Kəsr sadəcə ədədi hissələrə bölmək demək deyil, bu anlayış insanlara bütöv bir şeyi bərabər və ya qeyri-bərabər hissələrə bölmək, müqayisə etmək, nisbətləri hesablamaq imkanı verir. Məktəb tədrisində və riyazi düşüncədə kəsr mövzusu, öyrənənin analitik təfəkkürünün, məntiqinin və sistemli düşünmə bacarığının inkişafında mühüm rol oynayır. Kəsrlərin düzgün qavranılması gələcəkdə daha mürəkkəb riyazi və texniki biliklərin asan mənimsənilməsinə zəmin yaradır.
Kəsr anlayışının mahiyyəti və tərifi
Kəsr bir ədədin başqa bir ədədə olan nisbətini, yəni bir bütövün neçə hissəyə bölündüyünü və neçə hissənin götürüldüyünü ifadə edir. Riyaziyyatda kəsr iki tam ədədin bir-birinə nisbətidir və aşağıdakı formada yazılır:
a/b, burada a – surət, b – məxrəc adlanır və b≠0 olmalıdır. Surət neçə hissənin götürüldüyünü, məxrəc isə bütövün neçə bərabər hissəyə bölündüyünü göstərir.
Kəsrlər gündəlik həyatda tortun bir parçası, piroqun üçdə biri, almanın dörddə üçü kimi real vəziyyətlərdə tez-tez rast gəlinir. Əslində, bütöv bir obyektin, varlığın və ya ədədi kəmiyyətin hissələrə ayrılması və bu hissələrin qarşılıqlı müqayisəsi kəsr anlayışının əsasını təşkil edir.
Kəsrlər məntiqi baxımdan təkcə “bölünmə” deyil, həm də “nisbət” deməkdir. Məsələn, 2/5 kəsri həm 2 ədədin 5 hissəyə bölünməsindən 2 hissənin götürülməsi, həm də 2-nin 5-ə olan nisbəti kimi başa düşülə bilər.
Kəsrlərin tarixi və yaranması
Kəsr anlayışı minilliklər boyunca insan cəmiyyətinin ehtiyacından doğub. Qədim Misir və Babil sivilizasiyalarında insanlar məhsulu, torpağı və digər maddi nemətləri ədalətli bölmək üçün kəsrlərdən istifadə ediblər. Misirlilər “unit fraction” – yəni surəti 1 olan kəsrlərdən istifadə edirdilər. Babil yazılarında isə daha mürəkkəb kəsr ifadələri, həmçinin onluq və altılıq sistemlərə uyğun kəsrlər tapmaq mümkündür.
Sonrakı dövrlərdə yunan riyaziyyatçıları və hindistanlı alimlər kəsr anlayışını riyazi formalara salıblar, orta əsr ərəb dünyası isə kəsrlərin yazılışını və əməliyyat qaydalarını təkmilləşdirib. Qərbi Avropada isə kəsrlər barədə düşüncə, onluq kəsrlərin yaradılması və gündəlik həyatın bir hissəsinə çevrilməsi XVII əsrdən başlayıb.
Kəsr növləri və təsnifatı
Kəsrlər müxtəlif formalarda və növlərdə olur. Ən çox rast gəlinən kəsr növləri bunlardır:
- Adi kəsrlər: Surət və məxrəc tam ədədlərdən ibarətdir. (məsələn, 3/7, 5/12)
- Qeyri-adi və yaxud düzgün və natamam kəsrlər:
- Düzgün kəsr – surət məxrəcdən kiçikdir (3/7).
- Natamam (səhv) kəsr – surət məxrəcdən böyük və ya ona bərabərdir (9/5, 12/4).
- Bileşik kəsr: Surəti və məxrəci özü də kəsr olan mürəkkəb kəsrlərdir. (məsələn, (3/4)/(5/7))
- Onluq kəsrlər: Məxrəci 10, 100, 1000 və s. olan kəsrlərdir və onluq vergüllə yazılır (0,25; 3,17).
- Qarışıq ədəd: Tam ədəd və kəsrin cəmindən ibarətdir (2 tam 3/5 kimi).
| Kəsr növü | Xüsusiyyətləri | Nümunə |
|---|---|---|
| Düzgün kəsr | Surət məxrəcdən kiçikdir | 2/5 |
| Natamam kəsr | Surət məxrəcdən böyükdür | 7/3 |
| Qarışıq ədəd | Tam ədəd + kəsr | 4 tam 1/2 |
| Onluq kəsr | Vergüllə ayrılır | 0,75 |
| Bileşik kəsr | Kəsr üzərində kəsr | (3/5)/(2/3) |
Kəsrlərlə riyazi əməliyyatlar
Kəsrlərlə toplama, çıxma, vurma və bölmə kimi riyazi əməliyyatlar həyata keçirilir. Hər bir əməliyyatın özünəməxsus qaydaları və mərhələləri var. Kəsrlərlə işləmək üçün onların məxrəclərini uyğunlaşdırmaq, sadələşdirmək və ya qarışıq ədədlərə çevirmək lazımdır. Əməliyyatların icrası zamanı məxrəc və surətin funksiyası, kəsrlərin uyğunlaşdırılması, eyni və müxtəlif məxrəclər üçün üsullar öyrənilir.
Kəsrlərin müqayisəsi və sadələşdirilməsi
Kəsrləri müqayisə etmək üçün onları eyni məxrəcə gətirmək və ya onluq kəsrə çevirmək olar. Məsələn, 3/5 və 4/7 kəsrlərini müqayisə etmək üçün hər ikisi 35-ə gətirilə bilər: 21/35 və 20/35, burada 21/35 böyükdür.
Sadələşdirmə isə surət və məxrəcin ən böyük ortaq böləni tapılıb, hər ikisinin ona bölünməsi ilə aparılır. Məsələn, 12/18 kəsrini 6-ya bölüb 2/3 kimi sadələşdirmək olar.
Kəsrlərdə məxrəcin və surətin mənası
Kəsrlərlə işləyərkən surətin və məxrəcin funksiyası vacibdir. Surət bir bütövün neçə hissəsinin seçildiyini, məxrəc isə bütövün neçə bərabər hissəyə bölündüyünü göstərir. Məsələn, 7/8 kəsri – bütövün 8 bərabər hissəsindən 7 hissəsinin götürülməsi deməkdir.
Kəsrlərin gündəlik həyatda və elm, texnika sahəsində tətbiqləri
Kəsrlər yalnız riyaziyyatda deyil, gündəlik həyatın hər sahəsində – ticarətdə, aşpazlıqda, tikintidə, maliyyə və iqtisadiyyatda, hətta incəsənətdə belə istifadə olunur. Məsələn, alış-verişdə 1/2 kiloqram, reseptdə 3/4 stəkan, torpaqda 1/5 hissə və ya hesablama proqramlarında onluq kəsrlər gündəlik həyat üçün zəruridir.
Elmdə və texnikada kəsrlər ölçü vahidlərinin çevrilməsində, statistika və ehtimalda, mühəndislik hesablamalarında, bank və maliyyə əməliyyatlarında geniş istifadə edilir. Musiqi notlarında ritmlərin və zaman bölmələrinin kəsr şəklində ifadəsi də bu anlayışın həyatımızda nə qədər önəmli rol oynadığını göstərir.
Kəsrlərin riyaziyyatın digər bölmələri ilə əlaqəsi
Kəsr anlayışı riyaziyyatın bütün bölmələri ilə, xüsusilə də nisbətlər, faiz, ehtimal, həndəsə və hətta cəbrdə geniş istifadə olunur. Cəbrdə kəsrlərlə tənliklər qurulur, faiz hesablama və nisbət anlayışı tam olaraq kəsrlərə əsaslanır.
Kəsrlərlə bağlı tipik problemlər və onların həlli yolları
Bəzən kəsrlərlə işləmək çətin görünə bilər. Şagirdlər məxrəcləri uyğunlaşdırmaqda, qarışıq ədədlərlə əməliyyat aparmaqda, kəsrləri onluq və geri çevirməkdə, sadələşdirməkdə çətinlik çəkə bilər. Bu hallarda kəsrin vizual şəkildə başa salınması, gündəlik həyatdan nümunələr gətirilməsi və addım-addım əməliyyatların izahı problemin həllində kömək edir.
Aşağıdakı cədvəldə kəsrlərin gündəlik həyatda bəzi tətbiq sahələri göstərilmişdir:
| Tətbiq sahəsi | Misal |
|---|---|
| Ticarət və alış-veriş | Endirimdə 1/3, məhsulun yarısı (1/2) |
| Aşpazlıq | Reseptdə 1/4 stəkan, 2/3 çay qaşığı |
| Maliyyə | Faiz hesabında 3/10, kreditdə 1/12 hissə |
| Mühəndislik | Materialların bölüşdürülməsi 5/8, 7/16 |
| Təhsil və elmi hesablama | Statistikada 3/4, ehtimalda 1/6 |
Kəsr və onun həyatımızdakı əhəmiyyəti
Kəsr riyazi düşüncənin formalaşmasında, gündəlik işlərin asanlaşdırılmasında, texnoloji və elmi biliklərin inkişafında xüsusi yer tutur. Kəsrləri doğru başa düşmək və onlardan bacarıqla istifadə etmək müasir dünyada hər bir insan üçün vacibdir. Onlar təkcə riyaziyyat dərsləri üçün deyil, həyatın ən müxtəlif sahələrində praktik bilik və bacarıq kimi öz əhəmiyyətini qoruyur.
Kəsr anlayışı riyaziyyatın yalnız bir mövzusu kimi deyil, gündəlik həyatın və praktiki fəaliyyətin ayrılmaz hissəsidir. Kəsrlər sayəsində insanlar həm maddi, həm də ədədi dəyərləri hissələrə bölmək, müqayisə və hesablamalar aparmaq imkanı əldə edir. Müasir dövrdə kəsrlərlə düzgün işləmək bacarığı həm təhsildə, həm də müxtəlif peşə sahələrində uğurun açarına çevrilib. Bu bilik insanın məntiqi düşüncəsini, analitik bacarığını və dünyagörüşünü formalaşdırır.
Ən Çox Verilən Suallar
Kəsr bütöv bir ədədin bərabər hissələrə bölünərək onlardan bir və ya bir neçəsinin seçilməsini ifadə edən riyazi anlayışdır. İki tam ədədin nisbəti kimi yazılır və surət və məxrəcdən ibarət olur.
Surət (yuxarıdakı ədəd) neçə hissənin götürüldüyünü, məxrəc isə (aşağıdakı ədəd) bütövün neçə bərabər hissəyə bölündüyünü göstərir.
Kəsrlər əsasən düzgün kəsr, natamam (səhv) kəsr, qarışıq ədəd, bileşik kəsr və onluq kəsrlər olmaqla fərqli növlərə ayrılır.
Kəsrlərlə toplama, çıxma, vurma və bölmə kimi əsas riyazi əməliyyatlar aparılır. Hər bir əməliyyatın öz qaydaları var.
Kəsrlər alış-veriş, aşpazlıq, maliyyə, tikinti, elmi və texniki hesablama kimi gündəlik fəaliyyətlərdə tez-tez istifadə olunur.
Kəsr anlayışı qədim Misir və Babil sivilizasiyalarından başlayaraq, sonrakı dövrlərdə yunan, hind və ərəb alimləri tərəfindən inkişaf etdirilib.
Kəsrin surət və məxrəci eyni ədədə bölünərək daha sadə və oxunaqlı formada ifadə edilir. Bu prosesə sadələşdirmə deyilir.
Qarışıq ədəd tam ədəd və düzgün kəsrdən ibarət olan ədəddir. Məsələn, 2 tam 3/5 kimi.
Kəsrləri müqayisə etmək üçün onları eyni məxrəcə gətirmək və ya onluq kəsrə çevirmək lazımdır. Sonra surətləri müqayisə edilir.
Kəsr anlayışı riyaziyyatda, iqtisadiyyatda, statistikada, mühəndislik və gündəlik qərarvermədə olduqca böyük əhəmiyyətə malikdir.
