Kvadrat tənlik nədir?
Kvadrat tənlik ax2+bx+c=0 formasına dəyişdirilə bilən istənilən tənlikdir, burada a, b və c ≠ 0 olan ədədlərdir (a = 0 olarsa, bx+c=0 xətti tənliyini alırıq).
Kvadratı həll etmək üçün ax2+bx+c=0-ı doğru edən x-in qiymətlərini axtarırıq. Həmişə ya iki həqiqi həll, iki mürəkkəb ədəd həlli və ya tam bir həll olacaq (bu ikiqat kök kimi tanınır).
Bu yazıda biz bu həlləri tapmaq üçün ən məşhur üç cəbri üsula baxacağıq.
Metod 1: Tənliyin faktorlaşdırılması
Kvadrat tənliyin həqiqi, rasional həlləri varsa, onu həll etməyin ən sürətli yolu çox vaxt (px + q) (mx + n) formasına bölünür, burada m, n, p və q tam ədədlərdir. Bu, x2 əmsalı 1 olduqda xüsusilə doğrudur.
Kvadratı həll etmək üçün ax2+bx+c=0-ı doğru edən x-in qiymətlərini axtarırıq. Həmişə ya iki həqiqi həll, iki mürəkkəb ədəd həlli və ya tam bir həll olacaq (bu ikiqat kök kimi tanınır).
Bu yazıda biz bu həlləri tapmaq üçün ən məşhur üç cəbri üsula baxacağıq.
Metod 1: Tənliyin faktorlaşdırılması
Kvadrat tənliyin həqiqi, rasional həlləri varsa, onu həll etməyin ən sürətli yolu çox vaxt (px + q) (mx + n) formasına bölünür, burada m, n, p və q tam ədədlərdir. Bu, x2 əmsalı 1 olduqda xüsusilə doğrudur.
Misal 1: x2+7x+12=0 həll edin
Faktorlara ayırmaq üçün biz çoxalaraq 12 və əlavə edərək 7-yə çatan iki ədəd axtarırıq. Bu 3 və 4-dür, ona görə də x2+7x+12=(x+3)(x+4) = 0 alırıq.
İndi 0 etmək üçün iki mötərizəmiz var; buna görə də bu mötərizələrin hər biri 0-a bərabər olduqda həllərimiz olmalıdır. Buna görə də həllərimiz x=−3 və x=−4-dür.
Misal 2: 6×2+11x−10=0 həll edin
Faktorlara ayırmaq bir qədər çətin, lakin əvvəlcə 6 və −10-u nəzərə alaraq və bəzi sınaq və səhvlərlə 6×2+11x−10=(2x+5)(3x−2)=0 olduğunu görə bilərik. Yenə də görə bilərik ki, mötərizələr sıfıra bərabər olmalıdır, buna görə də x=−5/2 və x=2/3.
Misal 3: x2−36=0 həll edin
Bu metodun genişləndirilməsi iki kvadrat fərqimiz olduqda olur. Bu misalda x-in kvadratı mənfi 6-nın kvadratı var. Çox tez görmək olar ki, x2−36 = (x+6)(x−6) və buna görə də −6 və 6 cavablarını alırıq.
Metod 2: Kvadratın tamamlanması
Yuxarıda göstərilənlərə bənzər üsul, kvadratı tamamlamaq da faktorizasiyanı əhatə edir, lakin bu üsul həm də mürəkkəb və/və ya irrasional cavablar üçün işləyəcək. Bu dəfə biz kvadratımızı (x+q)2+r=0 formasına çevirməyə çalışırıq, burada q və r tapılacaq həqiqi ədədlərdir. Yuxarıdakı nümunə ilə başlayaq.
Misal 1: x2+7x+12=0 həll edin
Nəzərə alın (px+q)2. Bunu genişləndirdiyimiz zaman p2x2+2pqx+q2 alırıq. Bizim nümunəmizdə x2 əmsalı 1-dir, ona görə də p=1. x-in əmsalı 7-dir, deməli 2pq=7 və deməli, q = 7/2.
Buna görə də ifadəmiz başlamalıdır (x+7/2)2. Bunu genişləndirsək (x+7/2)2 = x2+7x+49/4 alırıq və beləliklə, yenidən təşkil etməklə x2+7x = (x+7/2)2 − 49/4 olduğunu görə bilərik.
Buna görə də x2+7x−12 = (x+7/2)2 − 49/4 + 12
=(x+7/2)2 − 1/4.
Bunu 0-a bərabər qoyaraq və yenidən təşkil edərək, əldə edirik:
(x+7/2)2 − 1/4 = 0
Tövsiyə olunur
Kvadrat-cəbri tənliyi necə faktorlara ayırmaq olar
Kvadrat cəbri tənliyi necə faktorlara ayırmaq olar
(x+7/2)2 = 1/4
x+7/2 = ±1/2
x = −7/2 ±1/2
Misal 2: 2×2−3x−4=0 həll edin
Bu dəfə 1 deyil, x2 əmsalı var. Bu tip kvadratlar üzrə kvadratı tamamlamaq üçün əvvəlcə bu əmsala bölmək ən asan yoldur. Bu halda, 2-yə bölmək bizə verir:
x2−(3/2)x−2=0
Yuxarıdakı metodumuzla 3/2-nin yarısını mötərizəyə qoyuruq və sonra mötərizə genişləndirildikdə verilən əlavə hissəni ləğv etmək üçün bunun kvadratını çıxarırıq, beləliklə:Misal 2: 2×2−3x−4=0 həll edin
Bu dəfə 1 deyil, x2 əmsalı var. Bu tip kvadratlar üzrə kvadratı tamamlamaq üçün əvvəlcə bu əmsala bölmək ən asan yoldur. Bu halda, 2-yə bölmək bizə verir:
x2−(3/2)x−2=0
Yuxarıdakı metodumuzla 3/2-nin yarısını mötərizəyə qoyuruq və sonra mötərizə genişləndirildikdə verilən əlavə hissəni ləğv etmək üçün bunun kvadratını çıxarırıq, beləliklə:
x2−(3/2)x−2=(x−3/4)2−(3/4)2−2
=(x−3/4)2−41/16
Bunu 0-a bərabər qoymaq və yenidən təşkil etmək bizə verir:
(x−3/4)2−41/16=0
(x−3/4)2=41/16
x−3/4=±(√41)/4
x=3/4 ±(√41)/4 (təxminən −0,851 və 2,351)
